Oppgave 1

Vi har at 10 ≡ −1 (mod 11). Vi prøver oss frem: 0² ≡ 0 (mod 11), 1² ≡ 1 (mod 11), 2² ≡ 4 (mod 11), 3² ≡ 9 (mod 11), 4² ≡ 16 ≡ 5 (mod 11), 5² ≡ 25 ≡ 3 (mod 11), 6² ≡ 36 ≡ 3 (mod 11), 7² ≡ 49 ≡ 5 (mod 11), 8² ≡ 64 ≡ 9 (mod 11), 9² ≡ 81 ≡ 4 (mod 11) og 10² ≡ 100 ≡ 1 (mod 11). Altså ingen løsning.

Resultatene over viser at 1 og 10 er de eneste løsningene av x² ≡ 1 (mod 11).

Ligningen x⁵ ≡ 1 (mod 11). Vi har 0⁵ ≡ 0 (mod 11). Men for a fra 1 til 10 vil det for halvparten bli a⁵ ≡ 1 (mod 11) og for den andre halvparten bli a⁵ ≡ 10 (mod 11). De som gir a⁵ ≡ 1 (mod 11) er a = 1, 3, 4, 5 og 9.

Oppgave 2

Vi har at 12 ≡ −1 (mod 13). Da vil både 5 og 8 passe i ligningen x 2 ≡ −1 (mod 13) siden 5² ≡ 25 ≡ 12 ≡ −1 (mod 13) og 8² ≡ 64 ≡ 12 ≡ −1 (mod 13).

Ligningen x² ≡ 1 (mod 13) har 1 og 12 som løsninger.

Ligningen x³ ≡ 1 (mod 13) har 1, 3 og 9 som løsninger.

Ligningen x⁴ ≡ 1 (mod 13) har 1, 5, 8 og 12 som løsninger.

Ligningen x⁶ ≡ 1 (mod 13) har 1, 3, 4, 9, 10 og 12 som løsninger.

Vi har at x⁶ − 1 = (x³ − 1)(x³ + 1). Tallene 1, 3, 4, 9, 10 og 12 er løsningene til x⁶ − 1 og tallene 1, 3 og 9 er løsningene til x³ − 1. Det betyr at 4, 10 og 12 er løsningene til x³ + 1, dvs. til x 3 ≡ −1 (mod 13).