

\documentclass[12pt,a4paper]{article}
\usepackage{amssymb ,amsfonts}
%\input{../../definisjoner/defn}
%\input{../../definisjoner/header-hio-forkurs}
\usepackage[norsk]{babel}           % Norsk stil, orddeling etc.
\usepackage[latin1]{inputenc}       % Forst� ��� i teksten
\usepackage[T1]{fontenc}            % SKRIVE UT ���
\usepackage{graphicx}
\usepackage{tikz}
\newtheorem{ex}{Oppgave}
\newcommand{\oppgave}{\section{}}

%\setlength{\mathindent}{1.5cm}
\setlength{\textheight}{24cm}
\setlength{\oddsidemargin}{1cm}
\setlength{\evensidemargin}{0cm}
\setlength{\footskip}{2cm}
\setlength{\textwidth}{15.5cm}
\setlength{\footskip}{1cm}
\setlength{\topskip}{0cm}
\setlength{\topmargin}{0cm}
\setlength{\headheight}{0.5cm}
\setlength{\headsep}{0cm}
\pagestyle{plain}

\begin{document}

\begin{center}
\sffamily \Large


\begin{tabular}[t]{ll}
Innlevering                &      BYFE DAFE Matematikk 1000 HIOA \\
                            & Obligatorisk innlevering 4 \\
Innleveringsfrist           & Fredag 11.~mars 2016  \\
Antall oppgaver:             &   $10+1$
\end{tabular}
\end{center}

\begin{center}
\includegraphics[width=12cm,height=8cm]{testfig3.png}
\end{center}

\oppgave
Hvilken av de to funksjonene vist i figuren er den deriverte av den andre? Forklar. 

\oppgave
 Deriver funksjonene.
\begin{itemize}

\item[a)]  $ f(x) =     x^2 \sin (x) +  \cos (\sin ( x)) +  \cos (2x) \sin (3x)         $

\item[b)]   $ f(x) =     \sin (7x +1 ) / e^x            $

 \item[c)] $f(x)=     x^x   $

\item[d)]  $ \displaystyle   f(x) =   \left\{ \begin{array}{lr}  - x^3  & x<0  \\
x^4   &     x \geq 0 
\end{array} \right. $   
\end{itemize}



\oppgave  Bestem parametrene $ a$ og $b$ slik at funksjonen 
 \[ \displaystyle   h(x) =   \left\{ \begin{array}{lr}  ax^2 + b  & x<1  \\
-x^3    &     x \geq 1 
\end{array} \right. \] 
er deriverbar for alle $x$. 

\oppgave Finn tangentlinjene til funksjonen
$ f(x) =  x^3 -  x^2   $ som er parallelle til linjen $ y = 4x +1 $.

\oppgave   
En kurve er gitt ved \[ x^3 - x^2 y - y^4  + 7 = 0 \]   
Sjekk at  punktet $ ( 3,2) $ ligger p\aa\ kurven. 
Finn tangentlinjen  til kurven i punktet $(3,2)$. 


\oppgave   
En kuleformet beholder fylles med en v\ae ske.  Tilf\o rselen er jevn.  Innvendig radius til kulen er n\o yaktig 1 meter.  Det tar 1 time \aa\ fylle kulen halvfull.  Hvor mye v\ae ske tilf\o res per sekund?  Finn endringsraten for v\ae skeh\o yden (fra bunnen) n\aa r v\ae skeh\o yden er $3/4$ av h\o yden til kulen (det vil si 3/2 ganget med radius til kulen).


\oppgave  Finn alle lokale og globale maksimums- og minimumspunkt til funksjonen 
gitt ved 
 \[ \displaystyle   f(x) =   \left\{ \begin{array}{lr}  -x-1    & -2 < x<1  \\

-1 & x=1 \\
x^3  -2x^2 -1    &   1 <   x \leq 2
\end{array} \right. \] 


\oppgave  Bestem grensene dersom de eksisterer. 
\begin{itemize}
\item[a)]  \[ \lim_{x \rightarrow 1} \frac{ \sqrt{x} -1}{\sin (\pi x )} \]

\item[b)]    \[ \lim_{x \rightarrow \sqrt{2}} \frac{e^x - e^2}{x^2 -1 } \]

\item[c)]  \[   \lim_{x \rightarrow -1} \frac{2^x - 1/2}{x^2 -1 } \]  

\item[d)]  \[   \lim_{x \rightarrow \infty }   \frac{ \ln (x) }{ \sqrt[100]{x}} \]

\end{itemize}


\begin{center}
\includegraphics[width=12cm,height=8cm]{testfig5.png}
\end{center}

\oppgave
Vi \o nsker \aa\  bestemme nullpunktet til funksjonen vist over ved Newtons metode. Hvorfor er det lurere \aa\  bruke punkt A som startpunkt enn \aa\  bruke punkt B? Hva vil skje dersom punkt B velges som startpunkt? 


\oppgave 
Forklar hvorfor hver av funksjonene har akkurat \emph{ett} nullpunkt i det oppgitte intervallet.  
(Det er naturlig \aa\ henvise til skj\ae ringssetningen og funksjonenes monotoniegenskaper.)

Bruk Newtons metode for \aa\ finne skj\ae ringspunktet med $x$-aksen.  Hvis det ikke fungerer bruk halveringsmetoden. Estimer nullpunktene med 4
gjeldende siffers n\o yaktighet. 

\begin{itemize}
\item[a)]   $ \displaystyle x^2 - x - 1,     \quad [   1, 2  ]  $ 

\item[b)]  $ \displaystyle \sqrt{x+1} + \sqrt[3]{x} -2,  \quad x \geq 0  $
%0.48049
\item[c)]  $ \displaystyle x^3  + 2x -2    \quad,  \textrm{ alle } x $ 
%0.77091699
\end{itemize}

\hrulefill

\oppgave
Her skal dere benytte Newtons metode til \aa\ lage en kalkulator som regner ut kvadratr\o tter.  Dette er ganske realistisk i forhold til hvordan lommekalkulatorene faktisk regner ut kvadratr\o tter. 
Vi tar utgangspunkt i funksjonen $ f(x) = x^2 -a$.  Det positive nullpunktet til $f(x)$ er $ \sqrt{a}$ for $ a>0$.   (Hvorfor er det et entydig nullpukt for $x \geq 0$?)

\begin{itemize}
\item[a)]  Vis at Newtons metode gir f\o lgende rekursive formel for estimatet til nullpunktet (n\aa r vi starter med en positiv verdi for $x$)

\[ x_{n+1} = \frac{ x_{n}^2 + a }{ 2 x_n } \] 


\item[b)]     Start gjerne med $ x_0 = a$.  Hvor mange iterasjoner ser det ut til at dere beh\o ver for \aa\ regne ut kvadratroten med en n\o yaktighet p\aa\ minst 12 siffer?  Test gjerne p\aa\ et enkelt tilfelle, som $a=4$, slik at det er lett \aa\ se hva som skjer.   (Dere kan for eksempel lage en l\o kke i matlab som skriver ut de ulike verdiene til $x_n$ rekursivt.)


\item[c)] Lag en matlab funksjon eller et skript som tar inn et tall og som gir ut kvadratroten til tallet  (regnet ut ved den rekursive beskrivelsen ovenfor).  
Kall gjerne funksjonen   rot.  P\aa\ hjemmesiden ligger en matlab funksjon som heter rot og som for\o vrig  regner ut en helt annen funksjon.  Dere kan ta utgangspunkt i det skriptet og modifisere det  hvis dere \o nsker.  
(Dere trenger ikkje levere inn skriptet dere lager.)

\end{itemize} 




\end{document}

\oppgave 
Cotangensfunksjonen er $  \cot (x) = \cos (x)/ \sin (x)$.
 Sekantfunksjonen er $ \sec (x) = 1 / \cos (x)$.
 Kosekantfunksjonen er $ \csc (x) = 1 / \sin (x)$.
 Finn de f\o rste og andrederiverte til $ \cot (x)$, $ \sec (x)$
 og $ \csc (x)$.


\oppgave

Benytt Taylor polynomet  til $e^x$ av orden $n$ samt feilleddet til \aa\ vise at 
\[ P_n (1) = 2 + \frac{1}{6} + \frac{1}{24} + \frac{1}{120 } + \frac{1}{720} + \cdots \frac{1}{n!}\] er ekte mindre enn $e$ og at  differansen $e - P_n (1)$ er mindre enn $ e/(n+1)!$. 

(Her er en tilleggsoppgave  for de som har f\aa tt til alt og \o nsker en ekstra utfordring):  Vis at $e$ er et irrasjonalt tall.
Hint1: Anta at $e$ er et rasjonalt tall $m/n$ og vis at dette leder til en selvmotsigelse. Fra dette kan du slutte at $e$ ikke kan v\ae re et rasjonalt tall, og derfor m\aa\ v\ae re et irrasjonalt tall. 
Hint2: Vis og benytt f\o lgende resultat om rasjonale tall: Differansen mellom to rasjonale tall $ a/b$ og $ c/d$ er enten 0 eller s\aa\ har differansen en absoluttverdi som er $ 1/(bd)$ eller st\o rre. 

\oppgave 
%Tegn grafen til de f\o lgende funksjonene. 
%Finn alle ekstremalpunktene  til hver av funksjonene og angi om de er maksimums- eller %minimumspunkt. Bestem eventuelle diskontinuiteter til funksjonene.
 Bestem b\aa de den f\o rste- og den andrederiverte til f\o lgende funksjoner
\begin{itemize} 
\item[a)]   $ \displaystyle  f(x) =   | 2x - 5|   $
\item[b)]  $ \displaystyle  g(x) =  |x^2 - 4 | $
\item[c)]  $ \displaystyle   h(x) =   \left\{ \begin{array}{lr}  - x^3  & x<0  \\
x^4   &     x \geq 0 
\end{array} \right. $   

\item[d)]  $ \displaystyle   h(x) =   \left\{ \begin{array}{lr}  
\sqrt{-x} \sqrt[3]{x}  & x \leq 0 
 \\ 
2\sqrt{x}  & 0 < x \leq  1 \\
2x^2 -3x +3   & x > 1
\end{array} \right. $   
\end{itemize}
