

\documentclass[12pt,a4paper]{article}
\usepackage{amssymb ,amsfonts}
%\input{../../definisjoner/defn}
%\input{../../definisjoner/header-hio-forkurs}
\usepackage[norsk]{babel}           % Norsk stil, orddeling etc.
\usepackage[latin1]{inputenc}       % Forst� ��� i teksten
\usepackage[T1]{fontenc}            % SKRIVE UT ���
\usepackage{graphicx}
\usepackage{tikz}
\newtheorem{ex}{Oppgave}
\newcommand{\oppgave}{\section{}}

%\setlength{\mathindent}{1.5cm}
\setlength{\textheight}{24cm}
\setlength{\oddsidemargin}{1cm}
\setlength{\evensidemargin}{0cm}
\setlength{\footskip}{2cm}
\setlength{\textwidth}{15.5cm}
\setlength{\footskip}{1cm}
\setlength{\topskip}{0cm}
\setlength{\topmargin}{0cm}
\setlength{\headheight}{0.5cm}
\setlength{\headsep}{0cm}
\pagestyle{plain}

\begin{document}

\begin{center}
\sffamily \Large

\begin{tabular}[t]{ll}
Innlevering                &    Matematikk forkurs HIOA \\
                            & Obligatorisk innlevering 3 \\
Innleveringsfrist           & Onsdag 15.~november 2017 kl 14:30  \\
Antall oppgaver:             & 8
\end{tabular}
\end{center}

\

\oppgave Deriver f\o lgende funksjoner
\begin{itemize}
 \item[a)]
$ \displaystyle   (  2-x)^2 $

 \item[b)]  $ \displaystyle      \frac{2}{(3-5x)^6 }   $

 \item[c)] $ \displaystyle    2x \sqrt{   x +3 }
 $

 \item[d)]   $\displaystyle  x   \ln |x|   -x   $
 
  \item[e)]   $\displaystyle \ln \sqrt{ 1+x^2 }$

\end{itemize}

\

\oppgave L\o s likningene.  Sjekk gjerne at svarene dere f\aa r faktisk er l\o sninger. (Sette inn l\o sningene  og sjekke at dere f\aa r det samme p\aa\ begge sider av likhetstegnene.) 
\begin{itemize}
\item[a)]   $ \displaystyle  4^x = 3 7^x $
\item[b)]   $ \displaystyle      \log x = \ln x  +2   $  (to forskjellige logaritmer)
\item[c)]  $ \displaystyle   3^{2x} = \ln (5)$
\item[d)]    $ \displaystyle    \ln ( x+1 ) - \ln (x-1) = 1  $  
\end{itemize}

\

\oppgave Gitt f\o lgende funksjon 
\[ f(x) = x e^{-x^2 /2} \] med definisjonsmengde $ [ 1/2 , 3 \rangle $.
\begin{itemize}
\item[a)] Bestem monotoniegenskapene til $f(x)$. (Hvor er den voksende og avtagende?)
\item[b)]   Bestem lokale og globale ekstremalverdier til $f(x)$. (Topp- og bunnpunkt til $f(x)$.)
\item[c)]  Finn eventuelle vendepunkt til grafen til $f(x))$. 
\item[d)]  Lag en skisse av grafen til $f(x)$. 
\item[e)]      Finn en likning som beskriver tangentlinjene til grafen til $f(x)$ hvor $x=1 $  og hvor $ x = \sqrt{2} $. 
\end{itemize}

\

\oppgave  Bestem alle polynomer av grad tre eller lavere som har ekstremalverdier i punktene 
 \[  (-1,-3) \ \ \  \textrm{og} \ \ \   (1,1)  \] 

\

\oppgave 

Dette er en optimaliseringsoppgave som er litt vanskelig. Hopp over den hvis du ikkje har glede av \aa\ l\o se oppgaven. 

\

Hva er  forholdet mellom radien og h\o yden i en 
 \aa pen kjegle med et fast volum $V$ n\aa r  overflatearealet   $A$ er minst mulig?
 Finn forholdet eksakt.   (Bruk gjerne  regneverkt\o y til \aa\ unders\o ke problemet og sjekke svaret du kommer frem til.)
 
 Volumet  til en kjegle med radius $R$ og h\o yde $H$ er lik \[V=  \pi R^2 H/3\]
 Overflatearealet er lik 
 \[A = \pi R \sqrt{R^2 +  H^2} \]
 
 \
 
 \
 
 \
 
\oppgave
Finn volum og overflateareal til f\o lgende figurer.  Tegn gjerne figurene.
\begin{itemize}
\item[a)]
Et rett rektangulert prisme med sideflater av lengde 2, 3, og 5.

\item[b)]  En rett sylinder med radius 3 og h\o yde 7.  (Topp og bunnplaten
tas med n\aa r dere finner overflatearealet).

\item[c)]  Ein kjegle med radius  3 og h\o yde 7.  (Bunnplaten tas med.)

\item[d)] En kule med radius $ 5 $.

\item[e)] En halv kule (hvor snittflaten tas med) som har diameter 3.
\end{itemize}

\

\oppgave  Finn vinklene og lengden til sidene,
 samt arealet til trekanten $ \triangle ABC$  gitt som f\o lger.  Svaret kan  gis som desimaltall  med minst 4 siffers n\o yaktighet.
Tallene som er oppgitt er eksakte.
\begin{itemize}
\item[a)]
$\angle A = 90^{\circ}  $, $\angle C  = 30^{\circ}$ og $AB = 8$.

\item[b)]   $\angle A = 90^{\circ}  $, $ \angle C  = 33^{\circ}$ og $AB = 8$.

\item[c)]    $\angle C  = 20^{\circ}  $ og   $ AC = BC = 10$.

\item[d)]  $\angle A = 55^{\circ}  $, $\angle B = 44^{\circ}  $ og $ AC = 23$.

\item[e)] $\angle A = 40^{\circ}  $, $A C = 8 $ og $ BC = 7$.

\item[f)]   $\angle A = 120^{\circ}  $, $AB = 12 $ og $ AC = 7$.
\end{itemize}

\oppgave
Bestem lengden p\aa\ alle sidene og finn alle vinklene  til alle trekantene  spesifisert som f\o lger:
\begin{itemize}
\item[a)]
Trekantene er  rettvinkla og  to av sidene har lengde 4 og 5.
\item[b)] Trekantene er likebeina og en av vinklene er 30 grader og en av sidene har lengde 10.
\item[c)]  Den ene vinkelen er 30 grader og to av sidene har lengde  8 og    5.

\item[d)]  Trekanten har sider av lengde 2, 3 og 4.


\end{itemize}

\end{document}
