

\documentclass[12pt,a4paper]{article}
\usepackage{amssymb ,amsfonts}
\usepackage[norsk]{babel}           % Norsk stil, orddeling etc.
\usepackage[latin1]{inputenc}       % Forst� ��� i teksten
\usepackage[T1]{fontenc}            % SKRIVE UT ���
\usepackage{graphicx}
\newtheorem{ex}{Oppgave}
\newcommand{\oppgave}{\section{}}

\setlength{\textheight}{24cm}
\setlength{\oddsidemargin}{1cm}
\setlength{\evensidemargin}{0cm}
\setlength{\footskip}{2cm}
\setlength{\textwidth}{15.5cm}
\setlength{\footskip}{1cm}
\setlength{\topskip}{0cm}
\setlength{\topmargin}{0cm}
\setlength{\headheight}{0.5cm}
\setlength{\headsep}{0cm}
\pagestyle{plain}

\begin{document}

\begin{center}
\sffamily \Large

\begin{tabular}[t]{ll}
Innlevering                & FO929A - Matematikk forkurs HIOA \\
                            & Obligatorisk innlevering 2 \\
Innleveringsfrist           & Fredag 24.~oktober 2014 kl. 14:00  \\
Antall oppgaver:             & 16
\end{tabular}
\end{center}

\oppgave
Finn volum og overflateareal til f\o lgende figurer.  Tegn gjerne figurene.
\begin{itemize}
\item[a)]
Et rett rektangulert prisme med sideflater av lengde 2, 3, og 5.

\item[b)]  En rett sylinder med radius 3 og h\o yde 7.  (Topp og bunnplaten
tas med n\aa r dere finner overflatearealet).

\item[c)]  Ein kjegle med radius  3 og h\o yde 7.  (Bunnplaten tas med.)

\item[d)] En kule med radius $ 5 $.

\item[e)] En halv kule (hvor snittflaten tas med) som har diameter 3.
\end{itemize}

\oppgave  Finn vinklene og lengden til sidene,
 samt arealet til trekanten $ \triangle ABC$  gitt som f\o lger.  Svaret kan  gis som desimaltall  
 med minst 4 siffers n\o yaktighet.
Tallene som er oppgitt er eksakte.
\begin{itemize}
\item[a)]
$\angle A = 90^{\circ}  $, $\angle C  = 30^{\circ}$ og $AB = 8$.

\item[b)]   $\angle A = 90^{\circ}  $, $ \angle C  = 33^{\circ}$ og $AB = 8$.

\item[c)]    $\angle C  = 20^{\circ}  $ og   $ AC = BC = 10$.

\item[d)]  $\angle A = 55^{\circ}  $, $\angle B = 44^{\circ}  $ og $ AC = 23$.

\item[e)] $\angle A = 40^{\circ}  $, $A C = 8 $ og $ BC = 7$.

\item[f)]   $\angle A = 120^{\circ}  $, $AB = 12 $ og $ AC = 7$.
\end{itemize}

\oppgave
Bestem lengden p\aa\ alle sidene og finn alle vinklene  til alle trekantene  spesifisert som f\o lger:
\begin{itemize}
\item[a)]
Trekantene er  rettvinkla og  to av sidene har lengde 4 og 5.
\item[b)] Trekantene er likebeina og en av vinklene er 30 grader og en av sidene har lengde 10.
\item[c)]  Den ene vinkelen er 30 grader og to av sidene har lengde  8 og    5.

\item[d)]  Trekanten har sider av lengde 2, 3 og 4.


\end{itemize}

\oppgave Gj\o r om f\o lgende vinkler oppgitt i grader til radianer.  Gi svaret eksakt.

\[ a) \ 270^{\circ} \ \ b) \ 150^{\circ} \ \ c) \ 25^{\circ} \ \ d) \ 18^{\circ} \ \ e) \ 135^{\circ} .  \]

\oppgave   Gj\o r om f\o lgende vinkler  oppgitt i radianer til grader.  Gi svaret som desimaltall og avrundet til  5 gyldige siffer.

\[ a) \ \pi / 3   \ \ b) \ 1   \ \ c) \ \frac{1}{57} \ \ d) \  \frac{22}{7}
 \ \ e) \  \frac{5 \pi }{4}  .  \]

\oppgave
 Et t\aa rn st\aa r p\aa\ en flat bakke.  Vi har et instrument som kan m\aa ler vinkler (mellom laserstr\aa ler)   n\o yaktig og et kort m\aa lband.  Vi m\aa ler f\o rst vinklen mellom bakken og linjen fra bakkeniv\aa\ til toppen av t\aa rnet.  Den er 45.0 grader.  Deretter g\aa r vi 10 meter i retning vekk fra t\aa rnet.  Vi m\aa ler vinkelen igjen og finner at den n\aa\ er 41.3 grader.
 Hvor h\o yt er t\aa rnet?

 \

%\includegraphics[scale = 0.7]{taarn.eps}

%\newpage

\oppgave  Finn alle vinkler $v$, med enhet radianer,   i intervallen $ [ 0 , 2 \pi ]$ slik at hver av likningene er oppfylt.  Svarene skal gis eksakt.
\begin{itemize}
\item[a)]  $ \sin (v) = - \frac{1}{2} $


\item[b)] $ \cos (v) = 1 $

\item[c)] $ \cos (v) = - \frac{\sqrt{3}}{2} $

\item[d)] $ \sin  (v) - \sqrt{3} \cos (v)  = 0  $

\item[e)] $ \sin (v) \cos (v)  = 0 $
\end{itemize}

\oppgave   Finn alle vinkler $v$, med enhet grader,   i intervallen $ [ 0 , 360^{\circ} ]$ slik at hver av likningene er oppfylt.  Svarene skal gis med fem gyldige siffer.
 \begin{itemize}
\item[a)] $ \sin (v) = \frac{1}{3} $

\item[b)]  $ \cos (v) = 0.8 $

\item[c)] $ \sin (v) =  2  $

\item[d)] $ \tan (v) =  1000 $

\item[e)] $ \sin (v) = \frac{\pi }{180 } $
\end{itemize}

\oppgave   Finn alle vinkler $v$, med enhet grader,   i intervallen $ [ 0 , 360^{\circ} ]$ slik at hver av likningene er oppfylt. Svarene skal gis eksakt.
\begin{itemize}
\item[a)] $\sin^2 (v) = \frac{1}{2} $


\item[b)] $ 2  \sin (v)  + 5 = 9 - \sin (v) $

\item[c)] $ \cos^2 (v) -    \cos (v) =  0  $

\item[d)] $ \sin^2 (v) + \cos (v) -1 = 0 $

\item[e)]  $ 2 \sin (v) - \tan (v)  = 0 $
\end{itemize}

\oppgave   Forholdet mellom volumet til en kule med radius 1 og volumet til den minste kuben som inneholder den er lik $ \pi /6 = 0.52359877\ldots $.

 Regn ut forholdet mellom volumet til en kule med radius 1 og volumet til den st\o rste kuben som er inneholdt i kulen.  Svaret skal gis eksakt.


\oppgave
Finn f\o lgene verdier \textbf{eksakt}.  Det er nyttig \aa\ bruke addisjonsformlene for $\sin$ og $\cos$.  Avhengig av hvordan dette
blir gjort kan svarene se litt forskjellig ut selv om de er like.  For eksempel kan  $ \sin (15^{\circ} ) $ regnes ut ved \aa\ bruke addisjonsformelen for sinus og
 $\sin ( 15^{\circ} ) = \sin ( 45^{\circ} + ( - 30^{\circ})) $, eller ved  \aa\ bruke formel for ``halvering av vinkel'' og at $ \sin (30^{\circ} ) = 1/2$.
\begin{itemize}
\item[a)]  $ \sin (15^{\circ} )$

\item[b)] $ \cos (15^{\circ} )$

\item[c)] $ \cos (75^{\circ} )$

\item[d)] $ \sin (22.5^{\circ} )$

\item[e)] $ \sin (67.5^{\circ} )$
\end{itemize}

\oppgave
Alle trekanter kan innskrives i en sirkel.  Det vil si at det finnes en sirkel med radius $R$ slik at trekanten ligger inni sirkelen og hj\o rnene til
trekanten ligger p\aa\ selve sirkelen (avstanden fra hvert av hj\o rnene til senteret er $R$).
Radien $R$ er bestemt av trekanten.
I denne oppgaven skal dere vise at en trekant med sider $a$, $b$ og $c$   kan innskrives i en sirkel med radius  lik
 \[ R = \frac{ abc}{\sqrt{ 2 (a^2 b^2 + a^2 c^2 + b^2 c^2 ) - ( a^4  + b^4 + c^4 ) }} .\]
%F\o rst kan dere studere to  enklere tilfeller.
 \begin{itemize}
%\item[a)]   Finn radien $R$ n\aa r trekanten er  likesidet  og  sidene har lengde $a$.


%\item[b)]  Finn radien $R$ n\aa r trekanten er  rettvinkla  og  katetene har lengde  $a$ og $b$ og hypotenusen har   lengde $c$.

\item[a)]  Vis at en  trekant med areal $A$ hvor sidene har lengde $a$, $b$ og $c$   kan innskrives i en sirkel med radius lik \[ R  = \frac{abc}{4A} \, . \]

\item[b)] Vis at arealet til en trekant med sider av lengde $a$, $b$ og $c$ er  lik \[  A = \frac{\sqrt{ 2 (a^2 b^2 + a^2 c^2 + b^2 c^2 ) - ( a^4  + b^4 + c^4 ) }} {4} \ . \]
(Hint:  Cosinussettning og arealsettning, samt Pytagoras sats  $ \cos^2 v + \sin^2 v = 1$.)

\

\

\end{itemize}

%\includegraphics[scale= 0.3]{TrekantSirkel.eps}

\oppgave
 Finn vektoren $ \overrightarrow{AB} $ n\aa r punktene er gitt som f\o lger.
\begin{itemize}
\item[a)] $ A = ( 1, 4)$ og $ B = ( 6, 7 )$

\item[b)] $ A = ( 0 , 0 ,0)$ og $ B = ( 6, 7 , 13 )$

\item[c)] $ A =( 4 , 0  , - 14 ) $ og $ B = ( 0 , 0 ,0)$

\item[d)] $ A = ( 1.34  , 6.87  , 9 . 678 )$ og $ B = ( 6. 789 , 7. 77  , 13. 654  )$

\item[e)] $ A = ( 1/4  , 5/6  , 7/13 )$ og $ B = (  3/6 , 5/24  , 8/7 )$
\end{itemize}

\oppgave

\begin{itemize}
\item[a)]  Finn koordinaten til punktet $A$  n\aa r  punktet $B$ har koordinat $ (-2.45  ,-3.22)$ og \[ \overrightarrow{BA } + [ 2.34 , 5.89 ] = [ 2.89, -5.00  ] . \]


\item[b)]   Finn koordinaten til punktet $B$  n\aa r  punktet $A$ har koordinat $ (7,8,-3)$ og  \[  \overrightarrow{BA } + [ 2, -4,5, ] = [ 3, -5 , 4 ] . \]

\item[c)] La $ B$ ha koordinat $ ( 3,4)$ og $ C$ ha koordinat $ (7 ,7 )$.  La  punktet  $A$ ligge p\aa\ linjestykke mellom $B$ og $C$ slik at $ AB$ er dobbelt s\aa\
lang som $ AC$.  Finn koordinaten til $A$.

\item[d)] Beskriv  linjen som g\aa r gjennom
punktet $ ( 3  , - 5 )$ og som er parallell til linjen gjennom punktene
$( -4 , 5 )$ og $( 1 , - 3 )$.  (For eksempel som en likning i $x$  og $y$ som
har graf lik linjen.)

\item[e)] Finn koordinaten til punktet som ligger midt mellom punktene $ (1,2,3)$ og $ ( 4 , -3 , -6 )$.
\end{itemize}

\oppgave  Gitt f\o lgende fire  punkt:  $ A = ( 2 ,4, 6 ) $, $ B = ( 1  , 4 , -1 ) $, $ C = ( 1/2 , 3 , -2 ) $ og $ D = ( -1 , 5 ,  -1 /3 ) $.

\begin{itemize}
\item[a)]  Finn vektoren $ \overrightarrow{AC}$ og finn summen av vektorene $ \overrightarrow{AB}  $ og $ \overrightarrow{BC}$.


\item[b)] Finn f\o lgende sum
\[ \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AD}. \]

\item[c)] Finn f\o lgende sum
\[3  \overrightarrow{AB} + 6 \overrightarrow{BC}. \]

\item[d)] Finn f\o lgende sum
 \[ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD }
 - \overrightarrow{AD}. \]

\item[e)]  Finn f\o lgende sum
\[ 2 \overrightarrow{AC} - 3 \overrightarrow{BD} +4 \overrightarrow{CB}
+2 \overrightarrow{DC} + \overrightarrow{DA }. \]
\end{itemize}

\oppgave Finn absoluttverdien til f\o lgende vektorer.
\begin{itemize}
\item[a)] $\overrightarrow{a} = [ -5  , 12 ] $


\item[b)] $\overrightarrow{b } = [ 1  , -1 , 1 ] $

\item[c)] $ \overrightarrow{c} = [ \sqrt{5} , -2 ] $

\item[d)] $ \overrightarrow{d} = [ 1/3 , 1/5 , - \sqrt{2}/15 ] $

\item[e)] $ \overrightarrow{e} = [ 1.3455 , -3.5609 , -2.4300 ] $ (Angi svaret med 5 gyldige siffer.)
\end{itemize}

\end{document}
\begin{itemize}
\item[a)]


\item[b)]

\item[c)]

\item[d)]

\item[e)]
\end{itemize}


\end{document} 