\documentclass[12pt,a4paper]{article}
\usepackage{amssymb ,amsfonts}
\usepackage[norsk]{babel}           % Norsk stil, orddeling etc.
\usepackage[latin1]{inputenc}       % Forst� ��� i teksten
\usepackage[T1]{fontenc}            % SKRIVE UT ���

\newtheorem{ex}{Oppgave}
\newcommand{\oppgave}{\section{}}
\newcommand{\svar}[1]{ \underline{ #1 } }
\setlength{\textheight}{24cm}
\setlength{\oddsidemargin}{1cm}
\setlength{\evensidemargin}{0cm}
\setlength{\footskip}{2cm}
\setlength{\textwidth}{15.5cm}
\setlength{\footskip}{1cm}
\setlength{\topskip}{0cm}
\setlength{\topmargin}{0cm}
\setlength{\headheight}{0.5cm}
\setlength{\headsep}{0cm}
\pagestyle{plain}

\begin{document}

\begin{center}
\sffamily \Large

\begin{tabular}[t]{ll}
 Innlevering i               & FO929A - Matematikk forkurs HIOA \\
                            & Obligatorisk innlevering  1 \\
Innleveringsfrist           & Fredag 19.~september 2014 kl. 14:00  \\
Antall oppgaver:             & 18
\end{tabular}
\end{center}

\

%En br\o k er p\aa\ standard form hvis den er $ m/n $ hvor $ n>0$, $ m \not=0$ og $m$ og $n$ er relativt primiske, eller den er $0/1$.
\oppgave
Skriv som en br\o k (eller et heltall)  \[ 1 + 3/4 + 1 \  \  \ \ 1 + (3/4) + 1  \ \ \ \ 
(1 + 3)/4 + 1  \ \ \ \  (1 + 3)/(4 + 1)  \ \ \ \    1 + 3/(4 + 1)   .\]


\oppgave Skriv som en br\o k  \[ \textstyle  1/(2/3)  \ \ \ \   (1/2)/3  \ \ \ \  (3/4)^2 \ \ \ \   3/ 4^2  \ \ \ \  \left(\frac{3}{4}\right)^2  \ \ \ \ 
\frac{3^2}{4} . \]


\oppgave  Finn heltallene  lik  $ 9 -5 $,  $\  9 ( -5) $, $\ 9 - (5) $, $\ 9 - (-5) $,   $\  -9 ( -5 ) $, $\ -9 -5$.
% $ 2 ( -4 + 1 ) $,


\oppgave  Finn heltallene  lik \[ -(-2)^2 \ \ \ (-3)^3  \ \ \  (2- 3)^4 \ \  \  2 - 3^4 \ \  \    2 + (-3)^4 . \  \]


\oppgave
 Finn de naturlige tallene  lik \[ 23^2  \  \ \ \   2 \cdot 3^2  \ \ \ \ (2 \cdot  3)^2   \ \  \ \  (2^3)^2   \ \  \ \
2^{3^2} .    \]

\oppgave
L\o s f\o lgende likninger ved regning, og oppgi svarene eksakt.
\begin{enumerate}
    \item $2x + 5 = 0$
    \item $x - 3 (1 - x) = 5$
    \item $\displaystyle \frac{x}{10} - \left( - \frac{6}{4} + \frac{1}{5 }\right) = \frac{3}{2}$
    \item $\displaystyle (1 - x) - \left(2 - \frac{3x}{5} \right) + \frac{1}{3} = 0$
    \item $\displaystyle \frac{x}{2x+1} = -1$
\end{enumerate}


\oppgave   L\o s ulikhetene, og oppgi svarene eksakt.
\begin{enumerate}
 \item
\( \displaystyle 4x/5 + 1 \geq 3 - 4x \)
 \item
\( \displaystyle \frac{1}{2}\cdot x   + 2 \leq  \frac{2}{3} \)
 \item
\(\displaystyle \frac{1}{2x}  + 2 \leq
 \frac{2}{3} \)
 \item
 \(\displaystyle  2x + 1 < 4x +2  \leq 5x -3 \)
\end{enumerate}


\oppgave
L\o s f\o lgende likninger ved regning, og oppgi svarene eksakt.
\begin{enumerate}
    \item $x^2 - 11x + 10 = 0$
    \item $(x-4)x = -25 + 6x$
    \item $(x-1)(x-2) = 2$
    \item $\displaystyle x + \frac{1}{x} + 1 = 0$
    \item $\displaystyle 1 - \frac{1}{x} = \frac{6}{x^2}$
\end{enumerate}


\oppgave
L\o s f\o lgende likninger ved regning, og oppgi svarene eksakt.
\begin{enumerate}
    \item $x^3 - 3x^2 + 2x = 0$
    \item $x^5 - 13x^3 + 36x = 0$
    \item $x^7 = -128$
    \item $\displaystyle x^4 = \frac{256}{81}$
\end{enumerate}


\oppgave
L\o s f\o lgende likninger ved regning, og oppgi svarene eksakt.
\begin{enumerate}
    \item $\sqrt{5 - x} = x + 1$
    \item $\sqrt{4 - x} = 2 - \sqrt x$
    \item $\sqrt{3x} = \sqrt[3]{x}$
\end{enumerate}


\oppgave
Utf\o r polynomdivisjonen. Finn kvotient og rest.
\begin{enumerate}
    \item $x^2 : (x - 1)$
    \item $(x^3 + 2x^2 + 1) : (x^2 - 1)$
    \item $(x^4 + 1) : (x^2 - x)$
\end{enumerate}


\oppgave
Faktoriser f\o lgende uttrykk mest mulig.
\begin{enumerate}
    \item $x^3 - 2x^2 + x$
    \item $\displaystyle x^2 - 6x + \frac{35}{4}$
    \item $\displaystyle x^2 - \frac52 \, x + 2$
    \item $x^3 + 8$
    \item $x^3 - 6x^2 + 11x - 6$
\end{enumerate}


\oppgave
Sett opp fortegnsskjema for f\o lgende uttrykk.
\begin{enumerate}
    \item $x^3 - 2x^2 + x$
    \item $\displaystyle x^2 - 6x + \frac{35}{4}$
    \item $x^2$
    \item $x^3 - 6x^2 + 11x - 6$
    \item $\displaystyle \frac{x^3 - 2x^2 + x}{x^2 - 5x + 6}$
\end{enumerate}


\oppgave
L\o s f\o lgende ulikheter ved regning, og oppgi svarene eksakt.
\begin{enumerate}
    \item $x^2 - 3x < -2$
    \item $x^3 + 8 \ge -19$
    \item $\displaystyle \frac{2}{x^2} > - \frac{1}{x} + 1 \quad ( x \neq 0 )$
\end{enumerate}


\oppgave
\begin{enumerate}
 \item[a)]  Peter er 2 \aa r og Hanne er 16 \aa r.  N\aa r er Hanne tre ganger s\aa\ gammel som Peter?

  \item[b)]  Jens er to \aa r eldre enn Erna.  Om ett  \aa r de tilsammen 110 \aa r.  Hvor gamle er Erna og Jens n\aa ?

 \item[c)] Ane, Bente og Casper har til sammen 102 kroner. Ane har 10 kroner mer enn Bente, og  Ane og Bente har tilsammen dobbelt s\aa \ mye penger som Casper.
 Hvor mye penger har Ane, Bente og Casper?
\end{enumerate}


\oppgave
M\aa l lengden p\aa\ sidene til et A4 ark.  Bekreft at de er 21.0 og 29.7 cm.
Forholdet mellom den lange og den korte siden er da $1.41$.
% (Mer n\o yaktig $1.414285 \ldots$ som er praktisk talt det samme som  $ \sqrt{2} =1.414213 \ldots $).
Et A4 ark kan deles i  to (midt p\aa\ den lange siden)  slik at vi f\aa r to like store   A5 ark. De har praktisk talt    samme
forhold mellom lang og kort side som A4 arket.
%Definisjonen av st\o rrelsen p\aa\ $An$ ark for $ n =0 ,1,2,3, \ldots$ er gitt ved at  $ A0$ skal
%ha areal $1m^2$ og forhold mellom siden lik $ \sqrt{2}$, og at rektangel  $ A(n+1)$ fremkommer fra $ An$ ved \aa\ dele $An$ i to like
%rektangler midt p\aa\ den lengste siden. (Dette er iso standart 216.)

Vis (ved \aa\ sette opp likninger og l\o se dem) at et rektangulert ark, og de to  arkene som fremkommer ved \aa\ dele
arket   i to like rektangulere ark (langs den lengste siden) vil ha
sammme forhold mellom den lange og den korte siden
hvis og bare hvis dette forholdet   er lik  $ \sqrt{2} =1.414213 \ldots $.


\oppgave
Vise f\o lgende resultat:  Hvis $ a$ og $b$ er   reelle tall slik at $ a+b $
er positiv, da er
$ a< b$ hvis og bare hvis $ a^2 < b^2.$
(Hint: Du kan for eksempel benytte konjugatsetningen.)


\oppgave
Vi har at  \[ \sqrt { 1 +1} = \sqrt{2} = 1.41 \ldots  < 2 = \sqrt{1} + \sqrt{1} \] 

\[ \sqrt{ 144 + 25} = 13<  12 + 5 = \sqrt{ 144} + \sqrt{ 25 } . \]

Vis hvorfor  $\sqrt{x+y} < \sqrt{x} + \sqrt{y} $ for alle positive reelle tall $x$ og $y$.

\end{document}
