

\documentclass[12pt,a4paper]{article}
\usepackage{amssymb ,amsfonts}
\usepackage[norsk]{babel}           % Norsk stil, orddeling etc.
\usepackage[latin1]{inputenc}       % Forstå æøå i teksten
\usepackage[T1]{fontenc}            % SKRIVE UT æøå
\usepackage{graphicx}
\newtheorem{ex}{Oppgave}
\newcommand{\oppgave}{\section{}}

\setlength{\textheight}{24cm}
\setlength{\oddsidemargin}{1cm}
\setlength{\evensidemargin}{0cm}
\setlength{\footskip}{2cm}
\setlength{\textwidth}{15.5cm}
\setlength{\footskip}{1cm}
\setlength{\topskip}{0cm}
\setlength{\topmargin}{0cm}
\setlength{\headheight}{0.5cm}
\setlength{\headsep}{0cm}
\pagestyle{plain}

\begin{document}

\begin{center}
\sffamily \Large

\begin{tabular}[t]{ll}
Innlevering                & FO929A - Matematikk forkurs HIOA \\
                            & Obligatorisk innlevering 3 \\
Innleveringsfrist           & Torsdag 15.~november 2012 kl. 14:30  \\
Antall oppgaver:             & 13
\end{tabular}
\end{center}

%En br\o k er p\aa\ standard form hvis den er $ m/n $ hvor $ n>0$, $ m \not=0$ og $m$ og $n$ er relativt primiske, eller den er $0/1$.

\oppgave  Finn volumet til tetraederet med hj\o rner $ \mathcal{O} (0,0,0)$, $P ( 1, -3 ,5) $, $Q ( 2, 0 , 6 )$ og $ R (4 ,24 , -2 )$.


%\oppgave  Finn volumet til det rektangul\ae re pyramiden  med hj\o rner i ABCD og topp i T.

\oppgave
\begin{itemize}
\item[a)]  Finn en likning som beskriver (har l\o sning som er) planet  vinkelrett p\aa\ vektoren $ [ -2 , 0 , 5]$ og
som inneholder punktet $ P$ med koordinater $ (  -2 , 4 , 1 )$.

\item[b)] Finn  en likning som beskriver  planet som inneholder punktet $ ( 1.381 , 5.834 , 39 . 110 )$ og  som er vinkelrett p\aa\ vektoren
$ \overrightarrow{u} = [ 0.735 , - 2.879 , 0.088 ] $.
\end{itemize}
\oppgave
\begin{itemize}
\item[a)]
  Finn  en parametrisering av planet  som inneholder de  tre  punktene $ A$, $B$ og $C$
 med koordinater henholdsvis $ ( 1 ,0   ,0 ) $, $ ( 0 , 3 , 2 ) $ og $ ( 1, 3, -3 )$.

 \item[b)] Finn en likning for planet i a)
\end{itemize}
\oppgave  Finn alle   plan som er utspent av vektorene $ \overrightarrow{a} = [ 1,2, -3 ]$ og $\overrightarrow{ b }= [ -2 ,-4 , -6 ] $.
og som har korteste avstand til origo lik 5.  Plana skal beskrives ved en likning.



\oppgave  Et regulært tetraeder er et tetraeder som best\aa r av fire sider som er likesidede trekanter.  La lengden p\aa\ sidekantene i de likesida trekantene v\ae re $L$.

a) Vi kan starte med \aa\ se p\aa\ en likesida trekant $ABC$ i $xy$-planet.  La $ A$ v\ae re origo og la  $B$ ha koordinater $ (L, 0,0)$.
Anta at det tredje hj\o rnet har positiv $y$-koordinat.
Finn koordinaten til punktet $C$.

b)  La punkte $E$ ligge midt i trekanten $ABC$.  Det vil si at avstanden fra punktet $E$ til de tre hj\o rnene $A$, $B$ og $C$ skal v\ae re like.
Finn denne avstanden og finn koordinaten til punktet $E$.

c)  Vi legger n\aa\ til et fjerde punkt $D$ med positiv $z$-koordinat slik at $ A$, $B$, $C$, og $D$ er hj\o rnene i et regul\ae rt tetraeder.
Finn koordinaten til punktet $D$, og finn avstanden fra $D$ til trekanten $ABC$ i $xy$-planet (``h\o yden'').  Finn    vinkelen mellom linjen $AD$  og den positive $z$-aksen

d) Finn volumet og   overflatearealet til tetraederet.





\oppgave

To plan i rommet er gitt ved $ 2x -y + 3z = 12$ og ved $ x + 5 y - 2 z = -3$. De to planene snitter i en linje.  Det vil si at punktene de har
til felles er en linje.  Parametriser denne linjen. (Hint: Se notater fra forkurs mattematikk 3.11.2011.)


\oppgave  Vinkelen mellom to plan er vinkelen mellom linjer som st\aa r vinkelrett p\aa\ plana (det er en vinkel mellom 0 og 90 grader).  Bestem vinkelen mellom de to plana i forrige oppgave.


\oppgave Gi en parametrisering av planet gitt ved likningen
\[ x  - 2 y +3 z = 4 . \]



\oppgave

Dette er en teorioppgave som omhandler dekomponering av vektorer.

La $ \overrightarrow{a} $ og $\overrightarrow{b}$ v\ae re to vektorer og anta at
$ \overrightarrow{b} \neq \overrightarrow{0}$.  Da er $\overrightarrow{a}$ en sum av en vektor
 $\overrightarrow{a}_{\|}$ parallell til $ \overrightarrow{b}$ og en vektor $ \overrightarrow{a}_{\bot}$ vinkelrett p\aa\ $\overrightarrow{b}$.
Denne dekomponeringen er entydig (det vil si at det finnes bare en  slik  dekomponering).

Vis at dekomponeringen er entydig og at den er gitt ved \begin{equation} \label{eq:dot}
 \overrightarrow{ a}_{\|} = \frac{ \overrightarrow{a} \bullet \overrightarrow{b} }{ | \overrightarrow{b} |^2 } \overrightarrow{b}
\textrm{  og  }  \overrightarrow{a}_{\bot }   = \overrightarrow{ a} -  \overrightarrow{a}_{\|}.\end{equation}
(Hint: Vis at $ \overrightarrow{a}_{\bot }$ er vinkelrett p\aa\ $ \overrightarrow{a}$.)

\

Her er   et   bevis for  at skalarproduktet er line\ae rt med hensyn til addisjon.  (Dere trenger ikke gj\o re noe.)
Fra entydighet av dekomponeringen er \[ ( \overrightarrow{a} + \overrightarrow{c} )_{\, \| } =  \overrightarrow{a}_{\, \| } + \overrightarrow{c}_{\, \| }  \]
siden $ \overrightarrow{a}_{\, \| } + \overrightarrow{c}_{\, \| } $ er parallell til $\overrightarrow{b}$,
 $\overrightarrow{a}_{\bot } + \overrightarrow{c}_{\bot } $ er vinkelrett p\aa\ $ \overrightarrow{b}$ og summen er $ \overrightarrow{a} + \overrightarrow{c}$.
Dette sammen med den eksplisitte dekomponeringen i Likning \ref{eq:dot} viser at skalarproduktet er line\ae rt  $ (\overrightarrow{a} + \overrightarrow{c} ) \bullet \overrightarrow{b} =
 \overrightarrow{a}\bullet \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} \bullet \overrightarrow{b} $.


\oppgave (Se foreg\aa ende oppgave.) Dekomponer vektoren $ \overrightarrow{a} = [ -2 , 1 , 5 ] $ som en sum av en vektor parallell til $ \overrightarrow{b} = [ 1,0 , 7 ]$
og en vektor som er vinkelrett p\aa\ $ \overrightarrow{b}$.

%Dekomponer vektoren $ \overrightarrow{c} = [ -0.785 ,1,579 , - 3.781  ] $ som en sum av en vektor parallell til
%$ \overrightarrow{b} = [ 1,0 , 7 ]$ og en vektor som er vinkelrett p\aa\ $ \overrightarrow{b}$.

\oppgave
\begin{itemize}
\item[a)] Finn summen av alle naturlige tall mindre enn eller lik 1000.


\item[b)] Finn summen av alle positive partall (dvs.~tall som er delelige med 2) mindre enn eller lik 1000.

\item[c)] Finn summen av alle  naturlige tall som er delelige med 5 og mindre enn eller lik 1000.

\item[d)]  Finn summen av alle naturlige tall som er delelige med 2 eller 5 (eller begge) og mindre enn eller lik 1000.

\end{itemize}

\oppgave  Den 1. januar 2001  setter Josef  inn 1000 kroner p\aa \ en fastrentekonto med $0.05\% $ \aa rlige renter. Han fortsetter \aa \ sette inn 1000 kr 1. januar hvert \aa r frem til og med
1. januar 2010.
Hvor mye penger vil det v\ae re p\aa\ kontoen ved utgangen av 2012?

\oppgave Vis at summen av  alle tall p\aa\ formen \[ 2^n 3^m , \]
hvor $ 0 \leq n \leq 11$ og $ 0 \leq m \leq 5$, er lik $ 1 \, 490 \, 580$.  (Det er $ 12 \cdot 6 = 72 $ slike tall.)


\end{document}


\oppgave

a) Finn den korteste avstanden mellom linjene  parametrisert ved
\[ [ 2,2,3] t + [ 1,2,3 ]  \] for reelle $t$, og ved
\[ [ 4,1, -5 ] s + [ 1/2 , 1/3,  -2 ] \] for reelle $s$.

b) Finn endepunktene til det korteste linjestykke mellom linjene (det er det samme som et punkt p\aa\ hver linje slik at  avstanden mellom dem er minst mulig.)


\oppgave
De tre plana gitt ved  \[
2x -y + 3z = 12 , \ \ \   -x - 5 y + 2 z = 3 \textrm{ \  og \ } x + y + z = 4 \] snitter i et punkt.  Finn dette punktet.


\begin{itemize}
\item[a)]


\item[b)]

\item[c)]

\item[d)]

\item[e)]
\end{itemize}


\end{document} 