

\documentclass[12pt,a4paper]{article}
\usepackage{amssymb ,amsfonts}
%\input{../../definisjoner/defn}
%\input{../../definisjoner/header-hio-forkurs}
\usepackage[norsk]{babel}           % Norsk stil, orddeling etc.
\usepackage[latin1]{inputenc}       % Forstå æøå i teksten
\usepackage[T1]{fontenc}            % SKRIVE UT æøå



\begin{document}



\begin{center}
\sffamily \Large

\begin{tabular}[t]{ll}
Innlevering i               & FO929A - Matematikk \\
                            & Obligatorisk innlevering nr.~3 \\
Innleveringsfrist           & fredag 11.~november 2011 kl. 15:00  \\
Antall oppgaver:             & 6
\end{tabular}
\end{center}

\vspace{5mm}

\noindent
{\bf Oppgave 1}\\
 \begin{description}
 \item[a)]
Skriv $\cos (x+ \pi/3 ) $ som en lin\ae r kombinasjon av $\cos x$ og $\sin x$.
 \item[b)]
Uttrykk $\cos (4 x) $ ved hjelp av $\sin x$.
 \item[c)]
Finn den eksakte verdien til $ \sin ( - 7, \! 5^{\circ} ) $.
%Dere kan bruke den eksakte verdien for $\cos (15^{\circ}$ som vi har regnet ut
 \item[d)]
Hvis $ \sin v = 0, \! 3892$, og vinkelen $v$ ligger i 2. kvadrant.  Hva er da $\cos ( 4 , \! 248 v )$?
 \end{description}
\vspace{5mm}




\noindent
{\bf Oppgave 2}\\

En trekant er gitt ved tre punkt $A, B$ og $C$ i rommet.  Vi har f\aa tt oppgitt at koordinatene til $ A $ er $( 1 ,3 ,5) $ og koordinatene til $B$ er
$ ( -2 , 0 , 7 )$ og at vektoren $ \overrightarrow{CB}$ er $[ 2, 4 , 9]$.
 \begin{description}
 \item[a)]
Finn koordinaten til $ C$, samt vektorene $ \overrightarrow{AB}$ og $\overrightarrow{AC}$.
\item[b)]
Finn lengden til vektorene $ \overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$ og $ \overrightarrow{BC}$.
\item[c)]
Finn arealet til trekanten $ABC$.
\end{description}
\vspace{5mm}

\noindent
{\bf Oppgave 3} \\
Gitt tre vektorer \[  \overrightarrow{a} = [ 1/2 , \   - 2/3 ,  \ 3/ 4 ]   , \ \  \overrightarrow{b} = [ 2/5 ,  \ 3/ 2 , \ -1/5 ]  , \ \ \overrightarrow{c} = [ 1/3 , \  2/ 5 , \  5/ 4 ] . \]
\begin{description}
\item{ a)}  Regn ut  absoluttverdien til hver av vektorene. Gi svaret eksakt. 
\item{b)} Regn ut skalarproduktet mellom hver av vektorene, $ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} $, $ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c } $,  $ \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c } $. Svarene skal gis som  br\o ker.
\item{c)}  Regn ut  vinkelen mellom vektorene: $ \overrightarrow{a}  $ og $ \overrightarrow{b} $.
\item{d)}  Regn ut f\o lgende kryssprodukter: $ \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} $,  $ \overrightarrow{b} \times \overrightarrow{a} $,  $ \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{c } $,  $ \overrightarrow{b} \times  \overrightarrow{c } $.  Gi svaret eksakt.
    \item{e)} Finn likningen for planet som er parallelt til vektorene $ \overrightarrow{a}$ og  $ \overrightarrow{b} $
    og som inneholder punktet $ (2, 5 , 1 )$.  Gi svaret eksakt.
\end{description}
\vspace{5mm}

\noindent
{\bf Oppgave 4} \\

En sirkel er gitt ved likningen \[ x^2 + {7x}  - 8y + y^2 + 22 =0 . \]
\begin{description}
\item{a)} Hva er radius og hva er senteret til sirkelen?

\item{b)} Bestem alle linjene som g\aa r gjennom punktet $(-1, 1) $ og som krysser sirkelen i akkurat ett punkt.
\end{description}
\vspace{5mm}

\noindent
{\bf Oppgave 5}\\

Et fly skal fly fra $A   $   til $B$.  Vi g\aa r ut ifra at det holder fast kurs hele tiden.  Det vil si konstant fart og retning.

Avstanden mellom $A$ og $B$ er  1134 km og retningen fra A til B er  19 grader fra retning nord mot retning vest. (Vi ser bort fra krumningen til jorden, og effekten av at flyet ogs\aa\ m\aa\ bruke tid p\aa\ \aa\ komme opp i marsjh\o yde og p\aa\ \aa\ lande.)  Flyet holder en konstant marsjfart p\aa\  823 km/t (Boeing 737-700).
\begin{description}
\item{a)} Hvis det er vindstille, hvor lang tid bruker flyet p\aa\ turen fra $A$ til $B$? Oppgi tiden i timer og minutter og sekunder.


Anta at det er vestavind (vind fra vest) med vindstyrke 23 $m/s$  (liten storm).

\item{b)} Hvilke retning m\aa\ flyet n\aa\ ta for \aa \ n\aa\ frem til $B$? (Oppgi vinkelen med fem gyldige desimaler.)

\item{c)}  Hvor mange prosent mer eller mindre tid  tar turen n\aa?
\end{description}

 \vspace{5mm}

 \noindent
 {\bf Oppgave 6 } \ \  (Vanskelig)

La $L$ v\ae re linjen parametrisert ved $ x = 2 + 3t , y = -1 + 2 t , z = 4 - 5t$, og la $K$ v\ae re   linjen  som g\aa r gjennom punktet $ P= ( 1,2,3) $  og som er parallell til vektoren $ \overrightarrow{v} = [ -3,2,1]$. Avstanden mellom to linjer er den korteste avstanden mellom alle par av punkt fra hver av linjene.  Hva er avstanden mellom linjene $K$ og $L$?

\end{document}
