

\documentclass[12pt,a4paper]{article}
\usepackage{amssymb ,amsfonts}
%\input{../../definisjoner/defn}
%\input{../../definisjoner/header-hio-forkurs}
\usepackage[norsk]{babel}           % Norsk stil, orddeling etc.
\usepackage[latin1]{inputenc}       % Forst� ��� i teksten
\usepackage[T1]{fontenc}            % SKRIVE UT ���
\usepackage{graphicx}
\usepackage{tikz}
\newtheorem{ex}{Oppgave}
\newcommand{\oppgave}{\section{}}

%\setlength{\mathindent}{1.5cm}
\setlength{\textheight}{24cm}
\setlength{\oddsidemargin}{1cm}
\setlength{\evensidemargin}{0cm}
\setlength{\footskip}{2cm}
\setlength{\textwidth}{15.5cm}
\setlength{\footskip}{1cm}
\setlength{\topskip}{0cm}
\setlength{\topmargin}{0cm}
\setlength{\headheight}{0.5cm}
\setlength{\headsep}{0cm}
\pagestyle{plain}

\begin{document}

\begin{center}
\sffamily \Large

\begin{tabular}[t]{ll}
Innlevering                &    BYPE2000 Matematikk 2000 HIOA \\
                            & Obligatorisk innlevering 3 \\
Innleveringsfrist           & Torsdag 24.~april 2014 f\o r forelesningen  \\
Antall oppgaver:             & 9
\end{tabular}
\end{center}

\oppgave 
Regn ut determinanten   til f\o lgende matriser.  (Det er ogs\aa\ en fin \o ving \aa\ finne inversmatrisene deres.)
\begin{itemize}
 \item[a)]
\[    \left[ \begin{array}{cc}  19  & 20 \\ 20 & 21  
\end{array} \right]   \] 
 
 \item[b)]  \[    \left[ \begin{array}{cc}  a  & 3b \\ 4c  & 9b  
\end{array} \right]   \]  

 \item[c)] \[    \left[ \begin{array}{ccc}  1  & 3 & -3  \\ 0  &  -1 & 0 \\ 2  &  -3  &  -1 
\end{array} \right]  
 \]
 
 \item[d)]   \[    \left[ \begin{array}{ccc}  0   & 39 & -13  \\ 1  &  -12 &  4   \\ 7  &  21  &  -7 
\end{array} \right]   \]    (Hint: Du kan spare deg for litt arbeid ved \aa\ benytte Thm.~3 i 3.2. Resultatet er ogs\aa\ gyldig hvis  rader erstattes av s\o yler.) 

 \item[e)] \[    \left[ \begin{array}{ccc}  a  & b & c  \\  b  & c  &a \\ c  & a  &  b
\end{array} \right]   \] 

 \item[e)] \[    \left[ \begin{array}{cccc}  0   & 0  & -1  & 1    \\ 3  & 5 &0 & 0   \\  0  & 0  &0 & -2  \\ 0   & -3  &  2 & 0 

\end{array} \right]   \] 

\end{itemize}

\newpage

\oppgave
Finn egenverdiene og egenvektorer som utspenner egenrommet.  Hvis egenrommet er hele vektorrommet skal dere ogs\aa\ diagonalisere matrisen. Husk at egenverdier ogs\aa\ kan v\ae re komplekse tall. 
\begin{itemize}
\item[a)]    \[    \left[ \begin{array}{cc}  7 & 9 \\ 4  & 2
\end{array} \right]   \]  
\item[b)]    \[    \left[ \begin{array}{cc}  2 & 1 \\ -1  & 2
\end{array} \right]   \]  
\item[c)]    \[    \left[ \begin{array}{ccc}  3 & 0 & 1  \\  1  & 3  &2 \\ 0  & 1  &  -1
\end{array} \right] \quad  \textrm{eller }   \quad 
   \left[ \begin{array}{ccc}  3 & 0 & 1  \\  0 & 3  &0 \\ 0  & 1  &  -1
\end{array} \right]
   \] 
   (Den andre av de to kan man regne med uten bruk av verkt\o y.)
\item[d)]        Matrisen $M $ er en $5 \times 5 $ matrise 
gitt ved at \[ M_{i ,j} = \frac{1}{i+ j} \]  for $i,j$ mellom 1 og 5.
 Gi svarene med fire gyldige desimaler eller mer.  Her er det nyttig \aa\ bruke matlab til \aa\ skrive opp matrisen (for eksempel med for-l\o kker) 
 samt til \aa\ utf\o re beregningene.  Det er og lettere \aa\ lage en utskrift enn \aa\ skrive av resultatene dere f\aa r.
\end{itemize}

\oppgave  \label{egenverdiFortegn}
 I denne oppgaven skal vi se p\aa\ egenvektorer og egenverdier til symmetriske $2 \times 2$ matriser 
 \[ A =  \left[ \begin{array}{cc}  a & b \\ b  & d
\end{array} \right]   \]  

\begin{itemize}
\item[a)]   Finn et uttrykk for egenverdiene til $A$.  N\aa r er det to forskjellige egenverdier og n\aa r er det bare en egenverdi?  

\item[b)]  Vis at egenverdiene m\aa\ v\ae re relle tall n\aa r  $a , b$ og $c$ er reelle tall. 
\item[c)]   Vis hvorfor den symmetriske matrisen har to line\ae rt uavhengige egenvektorer  selv om 
den bare har en egenverdi.  Dette f\o rer til at alle symmetriske matriser kan diagonaliseres. 
(Faktisk kan egenvektorene til enhver symmetriske matrise velges til \aa\ v\ae re ortogonale til hverandre. 
Vis gjerne dette hvis du vil.)
 
\item[d)]   Anta at  determinanten til en symmetrisk matrise er positiv.  
Determinanten til matrisen er produktet av egenverdiene. S\aa\  enten er begge egenverdiene positive eller s\aa\  er begge egenverdiene negative. 
Vis f\o lgende resultat for $2 \times 2$ symmetriske matriser med positiv determinant:  

Begge egenverdiene er positive hvis og bare hvis begge diagonalelementene ogs\aa\ er positive, og begge egenverdiene er negative hvis og bare hvis begge diagonalelementene ogs\aa\ er negative.

\item[e)] Anta determinanten til en symmetrisk matrise er negativt.  M\aa\ da produktet av diagonalemenetene v\ae re  negativt?  Vis dette eller finn et eksempel som viser at det ikke er sant. 

\end{itemize}

\oppgave 
a) Vi ser litt p\aa\ stabiliteten til matriseprodukt.  Vi kan redusere dette til \aa\ se p\aa\ stabiliteten til skalarproduktet siden element $(i,j)$ i matriseproduktet er skalarproduktet av rad $i$ til matrisen til venstre og s\o yle $j$ til matrisen til h\o yre i produktet.  
La relativ feil til hver av elementene $ x_1 , x_2 , \ldots x_n$ v\ae re $r$. 
Vis at relativ feil til skalarproduktet \[ [ a_1 , a_2 , \ldots a_n ] \bullet [ x_1 , x_2 , \ldots x_n ]  \] er (til f\o rste orden)  begrenset av \[ \frac{\sum_{i=1}^n | a_i x_i | }{| \sum_{i=1}^n   a_i x_i  |  } r  \]
(forutsatt at  $\sum_{i=1}^n   a_i x_i  $ er mye st\o rre enn endringen $\sum_{i=1}^n   a_i  \Delta x_i $).
Spesielt, hvis alle elementene i begge vektorene har samme fortegn, s\aa\ er relative feil til skalarproduktet ogs\aa\ $r$ (til f\o rste orden). 

\

\noindent
b) 
 Sm\aa\ endringer i et likningssystem kan f\aa\ store konsekvenser for l\o sningene.
 Her er et enkelt eksempel  
 \[      \left[ \begin{array}{cc}  1.000001 & 1 \\ 1 & 1 
\end{array} \right]      \left[ \begin{array}{c}  x   \\ y
\end{array} \right]  =  \left[ \begin{array}{c}    1 \\  1 
\end{array} \right]    \textrm{ og }       \left[ \begin{array}{cc}  1.000001 & 1 \\ 1 & 1 
\end{array} \right]    \left[ \begin{array}{c}  x   \\ y
\end{array} \right]  =  \left[ \begin{array}{c}  1.000001   \\ 1 
\end{array} \right]    \]   
 har l\o sning hennholdsvis \[   \left[ \begin{array}{c}  0   \\  1 
\end{array} \right]   \textrm{ og }    \left[ \begin{array}{c}  1   \\  0
\end{array} \right]
 \]
 En relativ endring p\aa\ en milliontedel i ene tallet i likningssystemet f\aa r store konsekvenser for l\o sningenen.
 I dette tilfellet er determinanten bare $ 10^{-6}$.  
 
 Unders\o k stabiliteten til likningssytemet 
  \[      \left[ \begin{array}{cc}  2.35643 & 1.34252 \\  5.86695 & 3.34255
\end{array} \right]      \left[ \begin{array}{c}  x   \\ y
\end{array} \right]  =  \left[ \begin{array}{c}    3.69895 
 \\   9.20949  
\end{array} \right] 
\]
hvis vektoren $  \left[  3.69895 
,  9.20949  \right] $ endres litt. Forklar observasjonen. 

\

En m-fil er tilgjengelig. 

\newpage 

\oppgave 
 
En leilighet har fire  rom.  Det er  bare en leilighet i hver etasje.  Vi ser bort fra varmetap   til leiligheten over og under v\aa r leilighet. Det st\aa r en ovn som avgir 900 W i rom 1.  Anta  at temperaturen ute er $ -5 ^{\circ} C $ og at varmetapet utover, for hver av de fire rommene er  proporsjonalt til temperaturdifferansen med varmeoverf\o ringskoeffisient $ 10 W/  ^{\circ} C$.  Mellom rommene er det ikke s\aa\ godt isolert:  Mellom rom $1$ og $2$ er varmeoverf\o ringskoeffisienten $ 50 W/ ^{\circ} C$,     mellom rom $1$ og $3$ er koeffisienten   $ 100 W/ ^{\circ} C$,  mellom rom $2$ og $4$ er koeffisienten $ 70 W/ ^{\circ} C$,    mellom rom $3$ og $4$ er koeffisienten $ 40 W/ ^{\circ} C$. Temperaturen i rom 1 kan kalles $T_1$ etc. 

Regn ut temperaturen i de fire rommene n\aa r temperaturen har stabilisert seg. 

\
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
  \draw [line width=3] (0,0) --(6,0) --(6,6) -- (0,6)-- (0,0);
  \draw (0,3)--(6,3) ; \draw ( 3,0) -- (3,6);
  \node at ( 1.5, 4.5) {Rom 1};  \node at ( 1.5, 1.5) {Rom 3};
   \node at ( 4.5, 4.5) {Rom 2};  \node at ( 4.5, 1.5) {Rom 4};
   \node at (1.5,5.5) [red] {OVN 900 W};
    \node at ( 3, 4.5) [blue] {50};  \node at ( 3, 1.5)  [blue] {40};
    \node at ( 1.5, 3)  [blue] {100};  \node at ( 4.5, 3)  [blue] {70};
  
\end{tikzpicture}
\end{center}

\

Hint:  Sett opp et regnskap for varmetap for de fire rommene og l\o s likningsystemet.  For eksempel for rom 3 er total varmetap lik 0 derfor m\aa\  
\[ 10 (T_{ute} - T_3 )  + 100 (T_1 - T_3 )  + 40 (T_4 -T_3) = 0 .\]
(Vi tar ikke med enhetene.) 
Dette er det samme som \[ 100 T_1 + 0 \cdot T_2- 150 T_3  + 40 T_4 = 50 .\]

Det b\o r selvsagt brukes regneverkt\o y for \aa\ l\o se oppgaven.  
Tenk over om svaret du f\aa r er rimelig.  For eksempel hva er gjennomsnittstemperaturen til de fire rommene? 

\oppgave  
 Vi skal n\aa\ se p\aa\ hvordan temperaturen i en bolig endres over tid.  Vi avgrenser oss til et enklere eksempel enn det foreg\aa ende.  La oss anta det er en hytte med to rom. Vi skal ``skalke lukene'' og forlater hytten med alle  varmekilder avskrud. I rom 1 st\aa r det en klebersteinovn. Det er og  satt inn mye vann i tubber og kar for \aa\ ``holde p\aa\ varmen''.  Varmekapasiteten i rom 1 er derfor veldig h\o y. N\aa r vi forlater hytten er temperaturen i rom 1 lik $20   ^{\circ} C $ og i rom 2 er temperaturen lik $ 25  ^{\circ} C $.    Anta varmkapasiteten for rom 1 er $ 2  MJ/ ^{\circ} C $ (Mega betyr $10^6$)
 og at varmekapasiteten for rom 2 er  $ 0.2 MJ/ ^{\circ} C $.  Ute er temperaturen $5    ^{\circ} C  $.
varmeoverf\o ringskoeffisienten mellom rommene er $ 40 W/ ^{\circ} C$.  For begge rommene er  varmeoverf\o ringskoeffisienten $ 30  W/ ^{\circ} C$ til sammen for yttervegger (og vinduer etc.), golv og tak. 
 
\
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\draw [line width=3] (0,0) --(6,0) --(6,3) -- (0,3)-- (0,0);
\draw (3,0)--(3,3) ; 
\node at ( 1.5, 1.5) {Rom 1};
\node at ( 4.5, 1.5) {Rom 2};
\node at ( 3, 1.5)  [blue] {40};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\
 
 \begin{description}
\item[a)]
Beskriv temperaturendringen for hver av rommene som en funksjon av tiden $t$ med enhet timer.  Tiden er lik 0 i det vi drar fra hytta.  (En time er lik 3600 sekunder.)

Hva er temperaturen  etter $6,12, 18 $ og 24 timer?   

\item[b)] 
Er det mulig at temperaturen til rom  2 faktisk blir lavere enn temperaturen til rom 1?  I s\aa\ fall hvor lang tid tar det f\o r det skjer? 

\item[c)]
Hvor lang tid omtrentlig tar det  f\o r temperaturen i rom 1 er nede i $10   ^{\circ} C $?  

\end{description} 

\oppgave  I denne oppgaven ser vi p\aa\ potensrekker av kvadratiske matriser.
\begin{enumerate}
\item
Anta $A$ er en $n\times n$ matrise som er slik at alle elementene i $A^n$  g\aa r mot null n\aa r $ n$ blir stor.

Anta $A$ er diagonaliserbar.  Gi et kriterie p\aa\ egenverdiene til $A$ som avgj\o r om 
$A^n$  g\aa r mot null n\aa r $ n$ blir stor.  

Husk p\aa\ at egenverdiene kan v\ae re komplekse tall. 

\item 
Forklar hvorfor  rekken 
\[ \mathbf{1}_n   + A + A^2 + A^3 + \cdots   = \sum_{n=0}^{\infty}   A^n \] 
(hvor vi tolker $ A^0 $ som $\mathbf{1}_n $) eksisterer og er en $n\times n$ matrise
som er lik inversmatrisen til $ \mathbf{1}_n  - A$.

% Hvordan er egenverdier og egenvektorer  til $A$ og $ A - r 1$ relatert?

\item Finn inversmatirsen til 
\[   \left[ \begin{array}{cccc}  1 & 0.0001  & 0.0003 &0   \\ 0.0005 &  1  & -0.0004   &0.0005 \\ 
0.0002 & 0 & 1 & - 0.001 \\
0  & -0.0006   &  0.0003 & 1 
\end{array} \right]   \] 
med 4 desimalers  n\o yaktighet. 
\end{enumerate}

\oppgave
  La $M$ v\ae re en vilk\aa rlig   $n\times n$ matrise.
Vi kan definere eksponentfunksjonen av $M$ ved \aa\ benytte potensrekkeutviklingen til eksponentfunksjonen.  
\[ \exp(M) = \mathbf{1}_n   + A + A^2 /2 + A^3 / 6  + \cdots   = \sum_{n=0}^{\infty}   A^n / n! \]
For eksempel er    $ \exp(0) =  \mathbf{1}_n $ og $ \exp (  \mathbf{1}_n ) = e  \mathbf{1}_n $. 
Hvis $ M$ er en $1 \times 1$ matise, alts\aa\ en skalar, er $ \exp (M)$ den vanlige eksponentfunksjonen. 
\begin{enumerate}
\item
La n\aa\ $ D$ v\ae re en $3 \times 3$ diagonal matrise med diagonalelementer $ a_{11} = 1 $, $ a_{22}  =-1 $ og $ a_{33} = i $, hvor $ i^2 =-1$.  Bestem $ \exp ( D)$. 

\item
La \[ M =  \left[ \begin{array}{cc}  1 & 1 \\ 1 & 0  
\end{array} \right]   \] 
Regn ut $ \exp (M )$. 

\item  Er  $ \exp (A + B) $ lik $ \exp (A) \cdot \exp (B)$ for alle $n \times n$ matriser $A$ og $B$?
Hvis ikke finn moteksempler, og gi kriterier som sikrer at likheten er gyldig. 
 Er inversmatrisen til  $ \exp (A)$ lik $ \exp ( -A)$? 
 \end{enumerate} 
 
 
 \oppgave 
 
Vi kan benytte diagonalisering av matriser til \aa\ forst\aa\ og bevise andrederiverttesten for funksjoner av to variabler.  Vi avgrenser oss til \aa \ se p\aa\ kritiske punkt i $(0,0)$.  Hvis en funksjon har et kritisk punkt i $ (a,b)$ kan vi forskyve variablene til henholdsvis $ x + a $ og $ y + b$ slik at det kritiske punktet er i $ (0,0)$. 
 
 Anta at $f(x,y)$ er minst to ganger konktinuerlig deriverbar i $ (0,0)$.
 Anta at $ f(x,y)$ har et kristisk punkt i $ (0,0)$ hvor begge f\o rste partiell deriverte er lik 0.    Under disse antakelsene er Taylor rekken til $f$ til andre orden gitt ved   \[ f(0,0)  + f_x (0,0) x + f_y (0,0) y+ f_{xx} (0,0) x^2 /2 + f_{yy} (0,0) y^2 /2  + f_{xy} (0,0) xy  =  \]
 \[
  f(0,0)  + f_{xx} (0,0) x^2  /2 + f_{yy} (0,0) y^2  /2 + f_{xy} (0,0) xy . \] 
 
 \begin{enumerate} 
 \item 
 Forklar hvorfor Hessematrisen \[  H =  \left[ \begin{array}{cc}  f_{xx}  & f_{yx}  \\ f_{xy}  & f_{yy} 
\end{array} \right]   \]
  er symmertisk under betingelsene vi har gitt.  Vis at Taylorrekkeutviklingen til andre orden er lik 
\[ f (0,0) + \frac{1}{2} v^T H v   \] hvor  \[ v = \left[ \begin{array}{c}  x \\ y  
\end{array} \right]   \] 
 
 \item 
 
  Siden $H$ er symmetrisk er $H$ ortogonalt diagonaliserbar. 
\[ H = PDP^T \]
Hvor \[ D =  \left[ \begin{array}{cc}  \lambda_1  & 0  \\ 0  & \lambda_2
\end{array} \right]   \]
og $P^{-1} = P^T$. 

Vi skifter basis til \[ 
\left[ \begin{array}{c} \overline{x}_1   \\ \overline{x}_2
\end{array} \right]  = P^T  \left[ \begin{array}{c} {x}_1   \\  {x}_2
\end{array} \right]  
\]
(rotasjon av aksene rundt origo).  
 Forklar hvorfor Taylorrekkeutviklingen til andre orden i denne basisen er gitt ved 
 \[  f(0,0)  + \lambda_1  \overline{x}^2  /2 + \lambda_2  \overline{y}^2  /2 . 
 \]  
 
 \item 
 Benytt n\aa\ Oppgave \ref{egenverdiFortegn} (del d) og bevis andrederiverttesten. 

\end{enumerate}
\end{document}
